Quadratics — Học Liệu Mẫu A-Level 9709

Short Notes

Completing the square: \(ax^2+bx+c=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2+\left(c-\dfrac{b^2}{4a}\right)\)
Quadratic formula: \(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
Discriminant \(\Delta=b^2-4ac\): \(\Delta>0\) → two distinct real roots · \(\Delta=0\) → one repeated root · \(\Delta<0\) → no real roots
Vertex of the parabola at \(x=-\dfrac{b}{2a}\) (read directly from the completed-square form)
Simultaneous equations (one linear, one quadratic): solve by substitution — rearrange the linear equation and substitute into the quadratic.
Equations quadratic in some function of x (e.g. \(\left(\dfrac{1}{x}\right)^2-5\left(\dfrac{1}{x}\right)+6=0\)): let u equal the repeated expression, solve for u, then convert back to x.
Quadratic inequalities: sketch the parabola, use the roots and the sign of a to read off the solution set.

Chưa hình dung được discriminant hay completing the square trông như thế nào? Xem hình minh hoạ trực quan ở tab Detailed Notes.

Detailed Notes

Mapped to the 5 official 9709 syllabus learning objectives for Quadratics.

Completing the square là gì?

Là cách viết lại \(ax^2+bx+c\) thành dạng completed square form: \(a(x+p)^2+q\)
Dạng này cho biết luôn vertex của parabola là \((-p,\,q)\) — không cần differentiation
Dùng để sketch đồ thị, tìm maximum/minimum value, hoặc chứng minh một biểu thức luôn dương/luôn âm

Làm completing the square thế nào?

Cách làm phụ thuộc hệ số của \(x^2\):

Khi a = 1

\(p\) là một nửa của b
\(q = c - p^2\)

Khi a ≠ 1

Đưa \(a\) ra ngoài làm nhân tử của hai hạng tử chứa x trước
Rồi làm y hệt trường hợp trên với biểu thức trong ngoặc

Đây là lý do kỹ thuật này tên là "completing the square" (hoàn thiện hình vuông): \(x^2+bx\) là diện tích 1 hình vuông cạnh x cộng 2 hình chữ nhật (b/2)x — vẫn còn thiếu đúng 1 góc vuông nhỏ cạnh (b/2) để ghép thành 1 hình vuông lớn hoàn chỉnh, cạnh (x + b/2). "Hoàn thiện" góc còn thiếu đó (ô viền nét đứt) chính là bước + (b/2)² trong công thức.

Mẹo phòng thi

Có lúc đề nói thẳng "express in the form \(a(x+p)^2+q\)" — thậm chí cho sẵn dạng cần viết.
Nhưng nhiều câu không nhắc gì cả, bạn phải tự nhận ra: hễ đề hỏi turning point, minimum/maximum value, hay range của hàm bậc hai thì gần như chắc chắn phải completing the square trước.
Sai dấu là lỗi mất điểm phổ biến nhất ở bước đưa \(a\) ra ngoài — viết hẳn ra một dòng riêng, đừng nhẩm.

Discriminant là gì?

Là phần nằm dưới dấu căn trong quadratic formula: \(\Delta=b^2-4ac\)
Ký hiệu bằng chữ Hy Lạp \(\Delta\) (delta hoa)
Cho biết phương trình \(ax^2+bx+c=0\) có bao nhiêu real roots — không cần giải ra nghiệm

Δ liên hệ thế nào với đồ thị và roots?

\(\Delta>0\)

Two distinct roots — cắt trục 2 lần

\(\Delta=0\)

One repeated root — chạm trục đúng 1 điểm

\(\Delta<0\)

No real roots — không chạm trục

Mẹo phòng thi

Đề 9709 hầu như luôn hỏi ngược: cho biết phương trình có two distinct roots / a repeated root / no real roots, bắt tìm khoảng giá trị của một hằng số trong hệ số. Nhận ra dạng này là xong nửa bài.
Đề nói "real roots" chung chung thì gồm cả repeated — dùng \(\Delta\ge 0\), không phải \(\Delta>0\). Đây là chỗ mất điểm rất hay gặp.
Kết quả thường ra một quadratic inequality theo hằng số đó — nhớ sketch để đọc khoảng cho đúng.

Giải quadratic equation bằng cách nào?

Factorising — nhanh nhất, thử đầu tiên khi hệ số đẹp
Quadratic formula — dùng khi không factorise được; luôn dùng được
Completing the square — dùng khi đề yêu cầu, hoặc khi cần luôn vertex

Quadratic inequality thì làm sao?

Tìm roots trước, rồi sketch parabola
Xét dấu của \(a\): \(a>0\) thì parabola mở lên, \(a<0\) thì mở xuống
Nhìn hình đọc ra khoảng nằm trên hay dưới trục hoành theo dấu bất phương trình

Mẹo phòng thi

Không bao giờ chia hai vế của bất phương trình cho một biểu thức có thể âm — dấu sẽ đảo mà bạn không biết.
Vẽ sketch nhanh vẫn nhanh hơn là ngồi lý luận trong đầu, và giám khảo cũng dễ theo dõi bài làm hơn.

Giải hệ 1 phương trình bậc nhất và 1 bậc hai thế nào?

Từ phương trình bậc nhất, rút một ẩn theo ẩn còn lại
Thế vào phương trình bậc hai → còn lại một quadratic một ẩn
Giải như bình thường; mỗi root cho một cặp (x, y)

Mẹo phòng thi

Tìm được x rồi nhớ thế ngược lại tìm y — bỏ quên bước này là mất điểm dù đã làm đúng phần khó.
Bài dạng "đường thẳng cắt / tiếp xúc / không cắt đường cong" thực chất là câu discriminant trá hình: tiếp xúc ⇔ \(\Delta=0\), không cắt ⇔ \(\Delta<0\).

Làm sao nhận ra một phương trình "ẩn" là quadratic?

Dấu hiệu: có một biểu thức lặp lại, và biểu thức kia là bình phương của nó — hay gặp với \(x^4\), \(\dfrac{1}{x}\), \(\sqrt{x}\), hoặc (ở Paper 3) hàm mũ và lượng giác
Đặt \(u\) bằng biểu thức lặp lại đó → giải quadratic theo \(u\)
Đổi ngược mỗi giá trị \(u\) về \(x\)

Mẹo phòng thi

Luôn kiểm tra điều kiện của u rồi mới kết luận: nếu \(u=\sqrt{x}\) thì \(u>0\), nghiệm \(u\) âm phải loại. Đề rất hay gài đúng chỗ này.
Giải xong theo \(u\) mà quên đổi về \(x\) là mất trọn điểm câu đó.

Worked example

Example 1 — Completing the square

Express \(2x^2-8x+5\) in completed square form, and hence state the minimum value of the expression.

Step 1: Take out a factor of 2 from the x terms: \(2x^2-8x+5=2(x^2-4x)+5\)

Step 2: Complete the square inside the bracket: \(x^2-4x=(x-2)^2-4\)

Step 3: Substitute back: \(2[(x-2)^2-4]+5=2(x-2)^2-8+5=2(x-2)^2-3\)

Conclusion: The minimum value is \(-3\), occurring at \(x=2\).

Example 2 — Simultaneous equations (one linear, one quadratic)

Solve the simultaneous equations \(y=x+1\) and \(y=x^2-2x-1\).

Step 1: Substitute the linear equation into the quadratic: \(x+1=x^2-2x-1\)

Step 2: Rearrange into standard form: \(x^2-3x-2=0\)

Step 3: Solve using the quadratic formula: \(x=\dfrac{3\pm\sqrt{17}}{2}\)

Step 4: Substitute each x-value back into \(y=x+1\) to find the corresponding y-value.

Conclusion: Two solution pairs \((x,y)\), one for each root.

Example 3 — Equation quadratic in some function of x

Solve \(\left(\dfrac{1}{x}\right)^2-5\left(\dfrac{1}{x}\right)+6=0\).

Step 1: Let \(u=\dfrac{1}{x}\), so the equation becomes \(u^2-5u+6=0\)

Step 2: Factorise: \((u-2)(u-3)=0 \implies u=2\) or \(u=3\)

Step 3: Convert back to x: \(\dfrac{1}{x}=2\implies x=\dfrac{1}{2}\) ; \(\dfrac{1}{x}=3\implies x=\dfrac{1}{3}\)

Conclusion: \(x=\dfrac{1}{2}\) or \(x=\dfrac{1}{3}\)

Key Formulae

Concept	Formula
Completed square form	\(a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2+\left(c-\dfrac{b^2}{4a}\right)\)
Quadratic formula	\(x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\)
Discriminant	\(\Delta=b^2-4ac\)
Vertex of the parabola	\(x=-\dfrac{b}{2a}\)
Sum and product of roots	\(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}\) · \(x_1x_2=\dfrac{c}{a}\)
Simultaneous equations method	substitute the linear equation into the quadratic

Definition & keywords

Discriminant: The quantity \(\Delta=b^2-4ac\), used to determine the number of real roots of a quadratic equation.
Repeated root: The case \(\Delta=0\), where the parabola touches the x-axis at exactly one point.
Vertex: The turning point of the parabola, with coordinates \(\left(-\dfrac{b}{2a},\text{ corresponding y-value}\right)\).
Substitution: The technique of replacing a repeated expression with a new variable (u) to reduce a more complex equation to a familiar quadratic form.
Simultaneous equations: A pair of equations solved together for the same unknowns; here, one linear and one quadratic, solved by substitution.

Common mistakes

Forgetting to convert back from the substituted variable u to the original variable x after solving the quadratic in u.
Sign errors when completing the square — forgetting to change the sign of the constant term when it is taken outside the bracket.
Dividing both sides of an inequality by an expression that could be negative, without reversing the inequality sign.
Not rejecting a root that fails a restriction on the substituted variable (e.g. \(u>0\) when \(u=\sqrt{x}\)).
In simultaneous equations, finding only the x-values and forgetting to substitute back to find the corresponding y-values.